§1. Учет погрешностей вычислений.
При решении математических задач могут возникнуть погрешности по различным
причинам:
1. При составлении математической модели физического процесса или явления
приходится принимать условия, упрощающие постановку задачи. Поэтому
математическая модель не отражает реальный процесс, а дает его
идеализированную картину. Погрешность, возникающая при этом, называется
погрешностью постановки задачи.
2. Часто приходится для решения задачи применять приближенный метод
(интеграл заменяют квадратурной суммой, производную заменяют разностью,
функцию – многочленом). Погрешность, возникающая при этом, называется
погрешностью метода.
3. Часто исходные данные заданы не точно, а приближенно. При выполнении
вычислений погрешность исходных данных в некоторой степени переходит в
погрешность результата. Такая погрешность называется погрешностью
действий.
4. Погрешность, возникающая при округлении бесконечных и конечных
десятичных чисел, имеющих большее число десятичных знаков, чем надо в
округлении, называется погрешностью округления.
Определение. Пусть х – некоторое число, число а называется его приближенным
значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в
вычислениях, [pic].
Определение. Погрешностью [pic] приближенного значения а числа х называется
разность [pic], а модуль этой погрешностью называется абсолютной
погрешностью.
Если [pic], то а взято с недостатком.
Если [pic], то а взято с избытком.
Определение. Границей погрешности приближенного значения а числа х
называется всякое неотрицательное число [pic], которое не меньше модуля
погрешности: [pic].
Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до [pic], если
[pic], [pic], [pic].
Пример. Пусть а=0,273 – приближенное значение х с точность до 0,001.
Указать границы, в которых заключается х.
[pic]
При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна
половине единицы округляемого разряда:
[pic], ? – порядок округления разряда.
Определение. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х
называется отношение
[pic].
Пример. Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и
относительную погрешность округления:
[pic],
[pic],
[pic].
Также как и абсолютная погрешность относительная погрешность не всегда
может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной
погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной
погрешности, тем выше качество приближения.
Определение. Границей относительной погрешности приближенного значения а
числа х называется всякое неотрицательное число [pic], которое не меньше
модуля относительной погрешности: [pic].
Установим связь между границами погрешностей абсолютной и относительной:
[pic] — граница относительной погрешности;
[pic] — граница абсолютной погрешности.
[pic].