Лекция 7
Плоские электромагнитные
волны
7.1. Понятие волнового процесса.
7.2. Плоские волны в идеальной среде.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.
7.5. Поляризация ЭМВ.
7.1. Понятие волнового процесса.
Мир, в котором мы живем, — мир волн. Чем характеризуется мир волн,
волновых процессов ?
Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:
1. Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют
волновые процессы ЭМВ.
1. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ — это скорость
света.
1. Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате
существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.
1. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и
тем же математическим аппаратом.
Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в
пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без
переноса вещества.
7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.
Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого
составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе
в плоскости перпендикулярной направлению распространения.
( (
(7.2.1.) rot H = j ((a E ( Используем для анализа
( ( ( 1 — е и 2 — е уравнения
(7.2.2.) rot E = — j ((a H ( Максвелла
Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы
рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве
за пределами
( (
зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.
(
Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):
( (
E = ([pic]) rot H
( (
([pic]) rot (rot H) = — j((a H
( ( (
rot rot H = grad div A — (2 H
( ( (
grad div H — (2 H = (2 (a(a H
(
т.к. div H = 0 — четвертое уравнение Максвелла
( (
(2 H + k2 H = 0 однородное волновое ур-е
Гельмгольца (7.2.3.)
k2 = (2(a(a
Точно так же из второго уравнения получаем
(
уравнения для вектора Е:
. (
(2 E + k2 E = 0 — однородное волновое ур-е
Гельмгольца (7.2.4.)
В развернутом виде запишем уравнения:
([pic]) +([pic]) +([pic]) + k2 H = 0 (7.2.5.)
Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний
находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.
r1 ( r2 ( r3
т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать
одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения
полей по координате y, х нет, т.е.:
[pic]=[pic] = 0
([pic]) + k2 H = 0
(7.2.6.)
Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:
H(z) = A e — jkz + B e jkz ( в обычной форме
H(z,t) = e ((( (A e — jkz + B e jkz) ( если поле зависит
от времени.
( (
H(z,t) = h ( означает, что поле векторное.
( (
H(z,t) = h [A e (((((((( + B e ((((+(((] (7.2.7.)
Выделим составляющую поля c амплитудой А:
( (
Ha(z,t) = h A e (((((((( — в комплексной форме.
(7.2.8.)
Выделим из комплексного выражения действительную часть:
( (
Haреал(z,t) = Re Ha(z,t) = h A cos((t — kz) (7.2.9.)
Фотография процесса в момент времени t = t1, t = t2. С какой скоростью
перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:
Ф1 = (t1 — kz1 ; Ф2 = (t2 — kz2
(7.2.10.)
Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф1 =
Ф2
(t1 — kz1 = (t2 — kz2
k (z2 — z1) = ( (t2 — t1)
[pic]= Vф — называется фазовой скоростью волны.
k = ( ( (a (a
Vф = [pic]- зависит от свойств среды,
где распространяется ЭМВ.
(0 = 8,85*10 –12 [pic], (0 = 4(*10-7 [pic],
V = 3*108 [pic](7.2.11.)
( — называют пространственную периодичность волнового процесса.
( — это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период,
или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.
в т. Z1 Ф1 = (t — kz1
в т. Z2 Ф2 = (t — kz2
Ф1 — Ф2 = 2(
z2 — z1 = [pic]= (
k = [pic] — волновое число
Vф = [pic]= f ( ( если в вакууме, то
Vф = c
Vф = f (
(7.2.12.)
Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:
( (
rot H = j ( (a E
( (
rot E = — j ( (a H
Спроектируем уравнение на оси координат:
. . .
( i j k
rot H = [pic] [pic] [pic]
Hx Hy Hz
-([pic]) = j((a Ex
[pic]= j((a E; [pic]
0 = j((a Ez
(
Ez = 0
-([pic]) = — j((a Hx , 0 = — j((aHz
[pic] = — j ((a Hy , Hz = 0
(7.2.13.)
В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости ( плоскости
распространения:
-([pic]) = j((aEx
j k Hy = j((a Ey
[pic] (7.2.14.)
Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней
зоне превращаются в плоские ЭМВ.
( (
Ориентация векторов Е и Н.
( (
Для плоской ЭМВ Е всегда ( Н.
((
Покажем, что величина Е Н = 0:
(( ((
E H = E H cos (E H) = 0
(i Ex + j Ey) (i Hx + j Hy)
ExHx + EyHy = Zc HyHx — ZcHxHy = 0
Ex = Zc Hy ; Ey = — Zc Hx
( (
E ( H всегда в плоской ЭМВ
( (
H = y0 A e (((((((( общая запись
( ( плоской ЭМВ.
H = x0 A Zc e ((((((((
(7.2.15.)
Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник,
то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются
( (
2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление
переноса энергии ?
( ( (
Пср = ([pic]) Re [E (H*]
Итоги: ( (
1. Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению
распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)
1. Отношение [pic]= Zc определенная величина в случае вакуума Zc = 120 (.
Плоская ЭМВ однородная.
1. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.
1. У плоской ЭМВ Ez = 0 , Hz = 0.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть
энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать.
Любая реальная среда — набор связанных зарядов (диполей), могут быть и
свободные заряды.
Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.
В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины
комплексные:
( = (`a — j (a«
( = (a` — j (a«
(7.3.1.)
Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры (а (а —
комплексные.
Амплитудные соотношения.
С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в
реальной среде:
____ _________________
k = ( ( (a(a = ( ( ((a`- j(a«)((a`- j(a«) = ( — j( (7.3.1.)
поскольку величины (а и (а — комплексные, то k — тоже величина
комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой
процесс:
( ( (
H (z,t) = y0 A e (((((((( = y0 A e (((((((((((( =
(
= y0 A e ( (( e ((((((((
(7.3.3.)
Параметр ( получил название коэффициента затухания. ( — фазовая постоянная
— вещественная часть волнового числа.
Vф = ( / ( в реальных средах [pic] (7.3.4.)
Понятие ( было введено для идеального диэлектрика. Если затухание
мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2( и считать,
что это (. Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет
смысл (соленая вода), понятием ( можно пользоваться условно.
Количественная оценка.
Рассмотрим поведение амплитуды в точках:
в т. Z1 ( H(Z1) = A e — ((1
в т. Z2 ( H(Z2) = A e — ((2
Изменение
a = 20 lg ([pic]) = 20 lg ([pic]) =
= 20 lg e (((2- (1( = 20 ( (Z2 — Z1) lg ?
Z2 — Z1 = ?
a = 8,69 ( l [дБ]
(7.3.5.)
во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .
Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором
амплитуда поля убывает в е раз
( (
(вектор Е и Н).
Изменение поля Н = A e — ((. На расстоянии равном глубине
проникновения в точке Z = 0, Н1 = А
в т. Z = (0 H2 = A e — ((
[pic]= е = е — (( ; ( (0 = 1
(0 = [pic]
(7.3.6.)
Фазовые соотношения
Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”
____ ________________
Zc = ( [pic]= ((a` — j(a«/ (a`- j(a«=(Zc( e ((
(7.3.7.)
в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение
( (
Е и Н в реальной среде:
( (
H(z,t) = y0 A e — (( e ((((((((
( (
E(z,t) = x0 A Zc e — (( e (((((((( =
(
= x0 A (Zc(e — (( e ((((((( ( (( (7.3.8.)
Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между
электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления
показывает величину сдвига фаз между
( ( ( (
Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.
Волновой процесс в реальных средах
Расчет коэффициента затухания и
фазовой постоянной в реальной среде
Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.
Реальная cреда не магнитный диэлектрик.
(a = (a`- j(a« ; (a = (a`- j0 = ((
(7.3.9.)
(почва, вода)
Порядок расчета:
1) Из общих выражений для k:
____________
k = ( — j( = ( ( ((a`- j(a«) (a`
(7.3.10.)
Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть
возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:
(2 — 2 j(( — (2 = (2(a`(a ` — j(2(a«(a`
Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые
части.
( (2 — (2 = (2 (a`(a`
(
( 2( ( = (2 (a«(a`
(2 (a`(a` = q — обозначим
(2 (a«(a` = (2 (a`(a [pic]= q tg (
[pic]= tg (
(7.3.11)
( (2 — (2 = q ; ( = [pic]
(
( 2( ( = q tg(
(2 — ([pic]) tg2( — q = 0
(4 — q(2 — ([pic]) tg2( = 0
(2 = [pic]
Какой знак взять + или — ?
Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к. ( — будет
отрицательная.
(2 = [pic](1 + ( 1 + tg2()
( = ( ( [pic](( 1 + tg2( + 1) (7.3.12)
для ( решение аналогичное:
( = ([pic] (7.3.13)
Выводы:
1. По определению Vф = [pic]
Vф = [pic]
tg ( = [pic]
Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость Vф от
f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.
( = 0 — идеальная среда
( ( 0 — реальная
Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:
1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:
tg ( << 1
_____
( = ( ( (a`(a`
(7.3.14.)
( совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с параметрами (а,
(а.
Для (:
________
( 1 + tg2( ( 1 + ([pic]) tg2( — разложение в ряд
_____
( 1 + x ( 1 + x2
( = ( [pic]tg( =([pic]) ( (a`(a`
чем > tg( , тем > (.
(7.3.15)
2) Среда с большими потерями.
tg ( >> 1
( = ( [pic]tg(
( = (
( = ( = ([pic]
tg ( = [pic]
( = ( = [pic]
(7.3.16.)
(0 = [pic]
Пример:
Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном
длине волны (в среде с большими потерями).
e (( = e(( = e ((((((( = e (( = 540 раз
7.4. Групповая скорость плоских волн
Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает
вопрос, какой реальный сигнал передается ?
(
(
(1 (2 (3
В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со
своей скоростью (1 (2 (3. С какой скоростью передается сигнал ?
Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух
гармонических сигналов:
(1 = A cos ((1t — k1 Z)
(2 = A cos ((2t — k2 Z)
(7.4.1.)
Рассмотрим сложение двух сигналов:
( = (1 + (2 = A [cos ((1t — k1 Z) + cos ((2t — k2Z)]
( = 2A cos (((1 -[pic]) t — (k1 -[pic]) Z) *
*cos (((1 +[pic]) t — (k1 +[pic]) Z)
[pic]= ( ( [pic] = (0
[pic]= ( k [pic]= k0
( ( << (0 ( k << k0
( = 2 A cos (( (t — ( k Z) cos ((0t — k0Z) (7.4.2.)
———————— ——————-
описывает медленно описывает быстро изменяющийся волновой процесс.
При оценке скорости реальных сигналов, специалисты рассматривают скорость
переноса max энергии. Рассмотрим с какой скоростью изменяется в
пространстве фронт max амплитуд.
в т. Z1 , t1 ( Ф1 = ( (t1 — ( kZ1 ,
в т. Z2 , t2 ( Ф2 = ( (t2 — ( k Z2
Ф1 = Ф2 ( ( (t1 — ( kz1 = ( (t2 — k (Z2
(k (Z2 — Z1) = (( (t2 — t1)
[pic]=Vгр
[pic]= Vгр ( [pic]
(7.4.3.)
Vгр по физическому смыслу характеризует скорость перемещения огибающей
сигнала. С движением огибающей связано перемещение энергии, поэтому с
групповой скоростью связано перемещение энергии:
Vгр ( c Vф >< c
Vф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.
Vф — скорость изменения состояния фазового фронта.
Пример: Лампочки последовательно загораются,
изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.
7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн
Под поляризацией будем понимать заданную в
( (
пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации:
линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной
линии прямой),
( (
круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую
поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).
Возьмем два ортогональных колебания:
Ех = А cos ((t — kz)
Ey = B cos ((t — kz + () (7.5.1.)
( — показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.
Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?
1) А ( В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.
y (( = 0)
_____ ___________
в E = ( E2x + E2y = ( A2 + B2 cos ((t-kz)
(
( = arctg [pic]= arctg ([pic])
(7.5.2.)
Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся
в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание
ориентированное под некоторым углом.
2) А = В ; ( = ( ((/2)
Два ортогональных колебания по определению:
( = arctg ([pic]) = arctg[pic]=
= arctg ( tg ((t — kz) = ( ((t — kz)
Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся
с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом ( (/2 дает вращающее колебание
(колебание с круговой поляризацией).
___________ _____________________________
E =((E2x(+(E2y(=(A2cos2 ((t — kz) + A2sin2 ((t — kz) = A
E = A
Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.
3) В общем случае, когда А ( В, и фазы разные, вектор
( (
Е или Н вращается по эллипсу.
Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с
круговой поляризацией, имеющих разное направление.
1 2 3 4
5
Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные
устройства (служебная связь — вертикальная поляризация, в России прием ТВ
на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация — режим передачи,
горизонтальная — режим приема. Круговая поляризация широко используется в
радиолокации.
————————
r1
r2
r3
y
z
х
М2
М3
М1
источник
z1 z2
z
t=t1
t=t2
НАреал
(z, t)
[pic]
z
? = (
z1
z2
t-соnst
[pic]
[pic][pic]
х
у
z
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
e-(z
z
Н
z
(
y [pic]
x
[pic]
Н
-е-(z
t
(
А Х
Q
[pic]