1. Pamatj?dzieni par rind?m: skait?u rindas defin?cija, rindas
parci?lsumma, konver?ences defin?cija.
Par rindu sauc virknes (a1, a2, a3,…, an,… ) locek?u bezgal?gu
summu.
an- rindas visp?r?gais loceklis. Rindas parci?lsumma-
Sn=a1+ a2+ a3+…+ an. Ja parci?lsummai eksist? gal?ga robe?a, kad n=>?
tad saka, ka rinda konver??, pret?j? gad?jum? rinda diver??. Rindu sauc
par konver?entu, ja t?s parci?lsumma virknei ir gal?ga robe?a. ?o robe?u
sauc par konver?entas rindas summu. Ja parci?lsummu nav gal?gas robe?as,
tad rindu sauc par diver?entu. Diver?entai rindai nav summas. 2.Pozit?vu
sk. rindu konver?ences nepiecie?am? paz?me. Sn=a1+ a1+…+ an-1+ an; Sn-
1=a1+ a1+…+ an-1; an=Sn- Sn-1; Pie??mums: rinda konver??
;
ja rinda konver??, tad robe?a kad n=>? ir 0.
2. Pozit?vu sk. rindu konver?ences pietiekam?s paz?mes.
a) Sal?dzin??anas paz?me: 0?an?bn , a) ja rinda
konver?? => konver??. b) ja rinda diver?? =>
diver??. c) ja , k?±?;k?0, tad abas
rindas uzvedas vien?di. b) Dalamb?ra paz?me: ,
S<1 rinda k onver??, S>1 rinda diver??, S=1 paz?me nedod atbildi. c) Ko??
paz?me , S<1 rinda konver??, S>1 rinda diver??, S=1
j??em cita paz?me. d) Integr?l? paz?me: ,S=?,0 rinda
diver??, cit?di konver??.
3. Altern?jo??s rindas, Leibnica paz?me, absol?t? un nosac?t? konver??
nce.
Rindu sauc par altern?jo?u, ja jebkuriem rindas blakus locek?iem ir
pret?jas z?mes: u1-u2+u3-…+(-1)n-1un+…, kur burti u1,u2,u3,…apz?m?
pozit?vus sk., ir mai?z?mju rindas. Leibnica paz?me: Mai?z?mju rinda
konver??, ja t?s locek?i tiecas uz nulli, visu laiku dilstot p?c
absol?t?s v?rt?bas. T?das rindas atlikumam ir t?sda pati z?me k? pirmajam
atmetajam loceklim un tas ir maz?ks par to p?c absol?t?s v?rt?bas. Rinda
konver??, ja izpild?s divi nosac?jumi: 1) an>an+1, 2) .
Absol?t? un nosac?t? konver?ence: Rinda u1+u2+…+un+… (1) katr? zi?a
konver??, ja konver?? pozit?va rinda |u1|+|u2|+…+|un|+… (2), kas
sast?d?ta no dot?s rindas locek?u absol?taj?m v?rt?b?m. Dot?s rindas
atlikums p?c absol?t?s v?rt?bas nep?rsniedz atbilsto?o rindas (2)
atlikumu. Dot?s rindas summa S p?c absol?t?s v?rt?bas nep?rsniedz rindas
(2) summu S’, t.i., |S|?S’. Vien?d?ba ir tikai tad, ja visiem rindas (1)
locek?iem ir viena un t? pati z?me. Defin?cijas: Rindu sauc par absol?ti
konver?entu, ja konver?? rinda, kas sast?d?ta no t?s locek?u absol?taj?m
v?rt?b?m. Rindu sauc par nosac?ti konver?entu, ja t? konver??, bet rinda,
kas sast?d?ta no t?s locek?u absol?taj?m v?rt?b?m, diver??.
4. Pak?pju rinda, t?s konver?ences interv?ls, ?bela teor?ma.Par pak?pju
rindu sauc ??da veida rindu: a0+a1x+ a2x2+ …+anxn+… (1) un ar?
visp?r?g?k? veid?: a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+ …+an(x-x0)n+… (2), kur x0
ir patst?v?gs lielums. Par rindu (1) saka, ka t? ir att?st?ta p?c x
pak?p?m, par rindu (2), ka t? att?st?ta p?c x-x0 pak?p?m. Konstantes a0,
a1,…, an,… sauc par pak?pju rindas koeficentiem. Pak?pju rinda
vienm?r konver?? v?rt?bai x=0. Attiec?b? uz konver?enci citos punktos var
rasties tr?s gad?jumi: a) var gad?ties, ka pak?pju rinda diver?? visos
punktos, iz?emot x=0. T?da, piem, ir rinda x+22×2+33×3+…+nnxn+…,
kurai visp?r?gais loceklis nnxn=(nx)n p?c absol?t?s v?rt?bas neierobe?oti
aug, s?kot ar momentu, kad nx k??st liel?ks par vienu. T?d?m pak?pju
rind?m praktiskas noz?mes nav. b) Pak?pju rinda var konver??t visos
punktos. T?da, piem, ir rinda: 1+x+(x2/2!)+ (x3/3!)+…+(xn-1/(n-
1)!)+…, kuras summa jebkurai x v?rt?bai ir vien?da ar ex. c) Tipiskaj?
gad?jum? pak?pju rinda vien? punktu kop? konver??, cit?-diver??. Pak?pju
rindas: a0+ a1x+ a2x2+…+anxn+… konver?ences apgabals ir k?ds
interv?ls (-R;R), kas ir simetrisks attiec?b? pret punktu x=0. Da?reiz
tan? j?ieskaita abi gali x=R, x=-R, da?reiz tikai viens, bet da?reiz abi
gali j?izsl?dz. Interv?lu (-R;R) sauc par pak?pju rindas konver?ences
interv?lu, pozit?vo sk. R par konver?ences r?diusu. ?bela teor?ma: Ja
pak?pju rinda a0+ a1x+ a2x2+…+anxn+… konver?? (absol?ti vai nosac?ti)
k?d? punkt? x0, tad t? konver?? absol?ti un vienm?r?gi jebkur? sl?gt?
interv?l? (a,b), kas atrodas interv?la (-|x0|,+|x0|) iek?ien?.
5. Funkciju izvirz??ana pak?pju rind?. Teilora un Maklorena rinda.
Ja funkciju f(x) var izvirz?t pak?pju rind? a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+
…+an(x-x0)n+…, tad izvirz?jums ir viens vien?gs un rinda sakr?t ar
Teilora rindu, kas att?st?ta p?c x-x0. pak?p?m. Teilora rinda: Par
Teilora rindu (kas att?st?ta p?c x-x0 pak?p?m) funkcijai f(x) sauc
pak?pju rindu: f(x0)+(f’(x0)/1)(x-x0)+ (f’’(x0)/2!)(x-
x0)2+…+(fn(x0)/n!)(x-x0)n+…, ja x0=0, tad Teilora rindai (att?st?tai
p?c x pak?p?m) ir izskats: f(0)+(f’(0)/1)x+
(f’’(0)/2!)x2+…+(fn(0)/n!)xn+…. Maklorena rinda: Pamatojoties uz
Teilora rindu:
6. Pak?pju rindu lietojumi.
F-ju v?rt?bas tuvin?to apr??in??ana: 1+(1/2)+
(1/8)+ (1/8*6)+ (1/16*2)+ (1/32*120) ,E=10-3. Robe?u
apr??in??ana: x=>0; ex~1+x; sinx~x;
cosx~1-(x2/2); (1+x)2~1+2x; ln(1+x)~x; arctgx~x. Integr??u tuvin?ta
apr??in??anai: ; E=10-3;
; Diferenci?lvien?dojums tuvin?ta atvasin??ana:
.
7. Furj? rinda. Funkciju izvirz??ana Furj? rind?.
Furj? rinda: f(x)~(a0/2)+a1cosx+ b1sinx+ a2cos2x+ b2sin2x+…,
; .
9. Divk?r?? integr??a defin?cija un apr??in??ana Dekarta koordin?t?s. D:
Robe?a uz kuru tiecas summa
,kad liel?kais
parci?lo apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par divk?r?o integr?li
no funkcijas f(x,y) pa apgabalu D. Apz?m?jums [pic]
Apgabalu D, sauc par regul?ru p?c x, ja novelkot jebkur? viet? l?niju
x=c, t? krusto apgabala D robe?u ne vair?k , k? 2 reizes. Visp?rregul?rs
– regul?rs p?c x un y Apr??in??ana Dekarta koordin?t?s [pic] ds=dxdy
10. Divk?r?? integr??a apr??in??ana pol?raj?s koordin?t?s.
[pic] f(x,y)=f(rcos(,rsin()=F(r,()
(S((r*r(( dS=r*dr*d(
11. Divk?r?? integr??a pielietojums.1.plaknes fig?ras lauk.
apr??in??ana [pic] 2. Tilpuma apr??in??ana z=z(x,y) [pic] 3. Plaknes
fig?ras(nehomog?nas) apr??in??ana (=((x,y) [pic] 4. Plaknes fig?ras masas
centra apr??in??ana c(xc,yc) Ioy- statiskais moments attiec?b? pret y asi
12. Tr?sk?r?? integr??a defin?cija un apr??in??ana Dekarta koor din?t?s
,lietojumi. D: Pie?emsim, ka punkta P(x,y,z) funkcija f(x,y,z) ir
nep?rtraukta telpas apgabala D iek?ien? un uz t? robe?as. Sadal?m D n
da??s; to tilpumus apz?m?sim ar (v1, (v2,…, (vn. Katr? da?? ?emsim
punktu un sast?d?sim summu Sn=f(x1,y1,z1) (v1+ f(x2,y2,z2) (v2+…+
f(xn,yn,zn) (vn . Robe?u uz kuru tiecas Sn , kad liel?kais parci?lo
apgabalu diametrs tiecas uz nulli, sauc par funkcijas f(x,y,z) tr?sk?r?o
integr?li pa apgabalu D. Apr??in??ana Lietojumi 1. Tilpuma apr??in??ana
[pic] 2. Nehomog?na ?erme?a masas apr??in??ana [pic]
13. Pirm? veida l?nijintegr??i, to apr??in??ana, lietojumi. [pic] 1)
y=y(x), [pic] [pic] ,ja dota parametriski, tad [pic] 14. Otr? veida
l?nijintegr??i, to apr??in??ana, lietojumi. 1) y=y(x), dy=y’dx [pic] [pic]
,ja dots parametriski, tad [pic] [pic] , ja l?nija L ir nosl?gta, tad
Gr?na formula [pic] L?nijintegr??u pielietojums 1)darba apr.[pic] 2)
l?nijas loka garumu apr. [pic] 3)masu nehomog?nai l?nijai apr. [pic]15.
Pirm? veida virsmas integr??i, to apr??in??ana, lietojumi. [pic] ,apr??ina
??idruma pl?smu caur virsmu [pic] 16. Otr? veida virsmas integr??i, to
apr??in??ana, lietojumi. [pic] apr??ina ??idruma pl?smu caur virsmu
17.Skal?rais lauks. Atvasin?jums dotaj? virzien?.
Ja katra apgabala d punktam, katr? laika moment? t, p?c noteikta likuma
piek?rtu funkciju u, tad saka, ka ir dots skal?rs lauks u=u(x,y,z,t) (1)
Ja f-ja nav atkar?ga no t, tad lauku sauc par stacion?ru u=u(x,y,z) (2)
Atvasin?jums dotaj? virzien? [pic]lim[pic](3) [pic]
u=u(x,y,z) u(M0) , u(M) (u= u(M)-u(M0) [pic]18. Skal?ra lauka
gradients, t? fizik?l? noz?me. Vektoru kura virzien? skal?r? lauka
izmai?as ?trums ir visliel?kais, sauc par skal?r? lauka gradientu grad u
[pic]19. Vektoru lauks. Vektoru lauka pl?sma, t? fizik?l? noz?me. Ja k?d?
telpas apgabal? katram punktam, katr? laika moment? t ir piek?rtots
noteikts vektori?ls lielums, tad saka ka ir dots vektori?ls lauks [pic]Par
vektoru lauka a pl?smu caur virsmu S sauc virsmas integr?li [pic] (1)
[pic] (2) 20. Vektoru lauka diver?ence, t?s fizik?l? noz?me. Par
vektoru lauka diver?enci sauc robe?u no pl?smas un tilpuma attiec?bas, kad
apgabala diametrs tiecas uz 0 [pic] (1) [pic] (2)
21.Vektoru lauka cirkul?cija, t?s apr??in??ana. Par vektoru lauka
cirkul?ciju sauc l?nijintegr?li pa sl?gtu l?niju.[pic](3) 22. Vektoru
lauka rotors, t? fizik?l? noz?me. Par vektoru lauka a rotoru sauc sekojo?o
determinantu. [pic] [pic]
[pic](3) 23. Potenci?ls lauks. Vektoru lauku a sauc par potenci?lu, ja tas
ir vien?ds ar k?da skal?r? lauka gradientu [pic]
25.St?gas sv?rst?bu vien?dojums. (2u/(t2=a2*(2u/(x2 –st?gas sv. vien.
Atrisin?jums
26.Siltumvad??anas vien?dojums. (2u/(t=a2*(2u/(x2 –silt.vad. vien.
27. Parci?lie diferenci?lvien?dojumi, Ko?? probl?ma, Dirihl? probl?ma,
jaukta veida probl?ma
————————
[pic]
–??/?????†???????????»???–??/?????†???????????»???–??/?????†???????????»???–
??/?????†???????????»???–??/?????†???????????»???–??/?????†???????????»???–?
?/?????†???????????»???–??/?????†???????????»???–??/?????†???????????»???–??
/??[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]